我国汽车数量逐年增加，所带来的社会问题愈加明显.我国每年因为驾驶员操作不当造成死亡人数高达数十万，而且解决城市交通拥挤问题也迫在眉睫.对于未来的智能交通系统，无人驾驶车辆的迅速发展已成为一种必然趋势.无人驾驶车辆涉及的技术领域广泛，其中主要有环境探知、定位导航、行为决策、路径规划与跟踪控制等.

无人驾驶实现的重要环节是跟踪控制，在满足安全条件下，控制算法应该最大程度保证无人车的跟踪精度与行驶稳定性.实际的车辆模型是高度非线性的，致使无人驾驶车辆的精确控制很难实现.控制技术的主要目标就是为了提高自适应性、鲁棒性以及精确度，所以控制算法的应用尤为重要.控制技术主要分为侧向控制、纵向控制与双向综合控制[1-2].侧向控制包括模型预测控制(MPC)[3]、纯追踪轨迹跟踪控制[4]、线性二次高斯控制(LQG)[5]、基于线性矩阵不等式方法的鲁棒增益调度自动转向控制[6]、H∞鲁棒控制[7-8]等.由于模型预测控制能在控制过程中考虑多种约束，所以应用广泛.文献[9]提出一种基于多种约束的最优轨迹跟踪控制策略，通过连续线性化误差模型，利用二次规划求解MPC，获得良好的轨迹跟踪精度.文献[10]提出了一种基于随机约束情形的MPC控制方法，在解决众多决策变量的大规模问题上取得良好的效果.文献[11]应用模型预测控制算法设计出一种新型的向后驾驶的转向控制器，与斯坦利转向控制算法相比，它有较好的鲁棒性与跟踪精度.

综合目前的研究成果，车辆横向控制研究较少地考虑无人车辆模型失配、时变、非线性以及状态测量偏差等问题带来的影响.无人驾驶车辆实际工况复杂多变，随时受随机性因素影响.因此本文采用自适应MPC算法来解决上述问题，并搭建轨迹跟踪控制仿真模型，验证控制效果.

本文选用具有x，y，Iz 3个自由度的动力学模型.如图 1所示，坐标系{o-xyz}为无人驾驶车辆质心处的坐标系，坐标系{O-XYZ}为全局大地坐标系，均满足右手法则.则无人驾驶车辆四轮简化模型[3]与轮胎的受力情况定义如下.

根据牛顿第二定律，计算得到x轴、y轴与绕z轴3个方向的受力平衡方程，其中，Fx, Lf，Fy, Lf，Fx, Rf，Fy, Rf，Fx, Lr，Fy, Lr，Fx, Rr，Fy, Rr分别为4个轮胎所受纵向与侧向的力，其动力学方程分别如下所示：

式中：m为设定的仿真车辆质量; φ，分别为横摆角与横摆角速度; 分别为车辆纵向速度与加速度; 分别为车辆的侧向速度与加速度; Iz为车辆转动惯量; a，b，c分别为质心点o到前、后轴的距离以及半轴长度;

坐标系{o-xy}与惯性坐标系{O-XY}之间的转换关系公式：

式中：分别为大地坐标系下纵、侧向速度.

应用线性轮胎模型可得到轮胎的纵向力与侧向力[7]分别为

式中：Cl，Cc分别为轮胎的纵向与侧向的刚度.

经简化与推导，得到车辆三自由度动力学模型为

式中：Ccf，Ccr，Clf，Clr分别为前、后轮胎的侧向刚度与纵向刚度; sf，sr为前、后轮胎的滑移率; δf为前轮转角.

建立的上述模型中：为车辆系统的状态量; u=δf为车辆系统的控制量.

由文献[3]推导出的非线性控制器可知，非线性模型以及复杂的控制器约束对于无人驾驶车辆的求解具有一定的难度.因此为了确保车辆在实际工况中求解的实时性，本文采用线性控制器对控制问题进行描述，并且把状态量偏差引入预测模型中，不断更新状态工作点，对系统模型进行线性化.

非线性动力学系统为

式中：f为系统的状态转移函数; h为系统的输出函数; x(t)为n维的状态变量; u(t)为m维的控制变量; η(t)为p维的输出变量.

对系统进行线性化与离散化：

式中：k为采样时刻; d(t)，v(t)分别为过程状态偏差与测量输出偏差.

自适应MPC控制原理如图 2所示.

基于以上原理图，首先对系统状态进行估计.由于车辆系统是高度非线性，而且传感器也处于高度集中，控制器的状态量不是全部可以测量或有测量噪声，需要估计状态或滤波.在默认情况下，传统MPC使用的是静态卡尔曼滤波器(KF)估计轨迹跟踪控制器中的状态，这样导致轨迹跟踪精度会有一定的误差.因此本文在每一个控制采样时刻基于动态卡尔曼滤波器(LTV-KF)设计两个增益矩阵L和M，并且不断更新L和M以适应当下时刻的无人车辆系统[12].

状态预测方程如下：

式中：x(k|k－1)为上一时刻状态量; ，分别为当前时刻k与下一时刻k+1处估计的状态量.e为估计误差：

LTV-KF的状态估计器所设计的增益矩阵更新方程如下：

式中：Q，R和N是MPC状态估计器中的噪声协方差矩阵; Pk|k－1是状态估计器基于k－1时刻获得k时刻信息的状态估计误差协方差矩阵; Lk，Mk为卡尔曼状态估计器设计的基于k时刻的更新增益矩阵.状态估计器相关参数的取值参考文献[13].

基于式(7)~(9)对于车辆系统的状态估计，得出当前时刻的状态量为，为了方便下文系统输出量的推导，作如下假设：

把控制量u(k)转化为控制增量Δu(k)，方便模型预测控制器对Δu(k)进行直接限制，因此对系统状态方程中的输入、输出以及相关矩阵等变量作出相应的变化.得到新的状态空间表达式为

式中：

Δu(k)=u(k)－u(k－1);Im是m维单位矩阵; 0m是m维值为0的列向量; 0m×n是m×n维的零矩阵.

通过不断进行迭代求解，可得到基于时刻k的系统输出量，则变换后的空间方程的系统输出量表达式如下：

设模型预测控制器的预测时域为Np，控制时域为Nc，则根据以上推导，在预测时域Np内系统的输出量表达式如下：

式中：Y为系统的输出量向量; Ψk，Θk，Υk分别为此系统中定义的参数矩阵; ΔU为系统控制时域Nc内的控制量向量; Φ为系统预测时域Np内的输入偏差向量; Ζ为系统预测时域Np内的偏差向量.定义的变量如下：

现定义输出变量η(k)如下：

式中：ηtr，ηhc，ηsc分别为控制输出量、硬约束输出量、软约束输出量.

由此经过向量矩阵变化，可推导出在预测时域Np内控制输出量Ytr(k)，硬约束输出量Yhc(k)，软约束输出量Ysc(k)的表达式：

式中：下标tr，hc，sc分别表示系统参数矩阵的转化量、硬约束量和软约束量.

由于车辆动力学模型以及约束比较复杂，在一个控制周期内可能出现无解的情形，因此在目标函数中加入可放宽约束的松弛因子ε，保证求解器在每一个控制周期都可以找到解[14].则采用如下形式的目标函数：

式中：O∈Rp×p，P∈Rm×m，W∈Rm×m分别为三个优化目标的权重矩阵; ηref为参考轨迹变量; ρ为权重系数; ε为松弛因子.

为方便计算机仿真验证，将上述目标函数转换为标准二次型，利用自适应MPC算法对其进行求解，则优化问题公式如下：

式中：

其中:Hk为正定的Hessian矩阵; Ξ(k)为预测时域内的跟踪误差; 1Nc是行数为Nc的列向量; M= 为克罗内克积，K为Nc×Nc维的下三角单位矩阵，Im是m维的单位矩阵.

每一个跟踪控制周期对式(17)进行求解，得到控制时域内一系列最优的控制变量：

将上述最优控制变量第一个元素作用系统：

每一个控制周期都进行以上计算步骤，通过前轮转角控制量实现轨迹跟踪控制.

表 1为选定的车辆模型的参数.本文设定控制器的预测时域Np=10，控制时域Nc=3，仿真步长Ts=0.05s，权重系数O=diag(900, 20, 30, 30)，P=20，W=100，ρ=1000，-12°≤δf≤12°，-0.9°≤Δδf≤0.9°.

在MATLAB/Simulink环境下搭建仿真模型并进行验证.在所搭建的仿真模型中，纵向速度由基于模式切换的增量式PID进行控制，并在每一个控制周期把控制量传给横向控制器，实现分层控制，对系统进行纵横向解耦.本文选定车辆以纵向速度为10，20m/s, 初速度10m/s, 加速度0.5m/s2行驶时的3种工况进行验证，分别对轨迹跟踪精度与稳定性进行比较.参考轨迹选择国际标准的双移线工况.仿真结果如图 3所示.

图 3a，3b表明:3种速度工况下，自适应MPC能较好实现轨迹跟踪控制.轨迹跟踪误差伴随着车速的提高而增大，但始终没有超过0.25m.当车辆以0.5m/s2的加速度加速行驶时，依旧保持良好的轨迹跟踪精度，表明该算法对于车辆速度的实时变化具有较强的鲁棒性.

图 3c表明:在3种速度工况下，车辆前轮转角伴随着车速的提高相应变化位置向前移动，最大转角始终没有超过控制器约束的范围.虽然加速行驶和20m/s两种行驶工况下的前轮转角有波动，但转角变化量都在约束范围之内，并未发生突变，表明在双移线测试工况下本文所设计的控制器性能是可接受的.

图 3d表明:3种速度工况下，速度越低，轨迹跟踪精度越高，则相对应的质心侧偏角越大，但质心侧偏角始终处于控制器约束的范围之间，表明车辆控制过程是比较稳定的，能够确保车辆的操稳性.当车辆以20m/s的速度行驶时，质心侧偏角出现微小波动，可能原因是较大的侧向力导致轮胎处于非线性工作区域.

综合以上分析可知，本文提出的控制策略是有效的，并表现出快速的响应与收敛能力.自适应MPC轨迹跟踪控制算法具有良好的速度鲁棒性与轨迹跟踪性能.

本文考虑车辆系统的非线性以及测量与过程噪声的影响来设计自适应MPC轨迹跟踪控制器，在每一个控制周期不断更新卡尔曼状态估计器中增益矩阵来适应当前的系统工作环境.在MATLAB/Simulink中搭建仿真模型并进行仿真验证，结果表明该算法在不同速度下依然保持良好的跟踪精度与稳定性，对于无人驾驶车辆轨迹跟踪控制的研究具有一定的参考价值.